弹性力学

弹性力学相关感念

弹性力学：又称弹性理论，是固体力学的一个重要分支，它是研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力的。弹性力学是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

固体力学：固体力学是研究可变形固体在外界因素作用下所产生的位移、运动、应力、应变和破坏等的力学分支。固体力学在力学中形成较早，应用也较广。

材料力学：也是固体力学的一个分支，研究结构构件和机械零件承载能力的基础学科。其基本任务是：将工程结构和机械中的简单构件简化为一维杆件，计算杆中的应力、变形并研究杆的稳定性，以保证结构能承受预定的载荷；选择适当的材料、截面形状和尺寸，以便设计出既安全又经济的结构构件和机械零件。

结构力学：同样是固体力学的一个分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科，它是土木工程专业和机械类专业学生必修的学科。结构力学研究的内容包括结构的组成规则，结构在各种效应（外力，温度效应，施工误差及支座变形等）作用下的响应，包括内力（轴力，剪力，弯矩，扭矩）的计算，位移（线位移，角位移）计算，以及结构在动力荷载作用下的动力响应（自振周期，振型）的计算等。

塑性力学：塑性力学又称塑性理论，是固体力学的一个分支，它主要研究固体受力后处于塑性变形状态时，塑性变形与外力的关系，以及物体中的应力场、应变场以及有关规律，及其相应的数值分析方法。塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的变形，而弹性力学不考虑。

弹性力学三大基本规律

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。

1、连续变形规律：是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，在笛卡儿坐标系中，几何方程为：

2、-应变关系：弹性体中一点的应力状态和应变状态之间存在着一定的联系，这种联系与如何达到这种应力状态和应变状态的过程无关，即应力和应变之间存在一一对应的关系。若应力和应变呈线性关系，这个关系便叫作广义胡克定律，各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：

3、动（或平衡）规律：处于运动（或平衡）状态的物体，其中任一部分都遵守力学中的运动（或平衡）规律，即牛顿运动三定律，反映这个规律的数学方程有两类：运动（或平衡）微分方程和载荷边界条件。在笛卡儿坐标系中，运动（或平衡）微分方程如下图方程5式中t为时间；ρ为材料密度；fi为作用在物体上的体力（外载荷的体积密度）分量。方程（5）实质上是从物体中隔离出来的一个微小平行六面体的运动方程。在平衡问题中，惯性力很小，忽略这些惯性力，便得到弹性力学中的平衡微分方程。

对于均匀而且各向同性的物体，应力分量可按式（3a）用应变分量表示，而应变分量又可按式（1）用位移分量表示。两个公式依次代入方程（5），便得到用位移表示的运动微分方程：

弹性力学的常用数学求解方法

弹性力学中常用的数学方法可分分成精确解法、近似解法两类：

1、精确解法：包括分离变量法和弹性力学的复变函数方法。弹性力学中的许多精确解是用分离变量法求得的。其步骤大致如下：根据物体的形状，选择一种合适的曲线坐标系，并写出相应于该坐标系的弹性力学微分方程和边界条件，如果微分方程中的变量能够分离，通常便可求得问题的解。能用分离变量法求得精确解的问题有：无限和半无限体的问题，球体和球壳的问题，椭球腔的问题，圆柱和圆盘的问题等。

对于能化为平面调和函数或平面双调和函数的问题，复变函数方法是一个有效的求解工具《柱体的扭转和弯曲问题、平面应变和平面应力问题以及薄板弯曲问题中的许多重要精确解都是用复变函数法求得的。

2、近似解法：为求解一些复杂的问题，在弹性力学中还发展了许多近似解法，能量法就是其中用得Z多的一类方法，它把弹性力学问题化为数学中的变分问题（泛函的极值和驻值问题），然后再用瑞利-里兹法求近似解。能量法的内容很丰富，适应性很强。工程界当前广泛使用的有限元法是能量法的一种新发展。差分法也是一种常用的近似解法，其要点是用差商近似地代替微商，从而把原有的微分方程近似地化为代数方程。此外，边界积分方程、边界元法和加权残数法对解决某些问题也是有效的手段。

弹性力学的应用

例如建筑业中，在一些承重的“过梁”上经常用到“弹性力学”，这些过梁一般都受到自上而下的“力”如果把这样的“过梁”作成水平，那么，长时间受到向下的力，“过梁”就会向下弯，久而久之，便形成变形。依据弹性力学的原理，把过梁作成向上弯一定幅度的形状，当受到向下的力时过梁就会把这种重力按过梁弯曲的形状传到垂直的“承重墙”那里，使建筑物合理承受外力。

不过在建筑上，你要说弹性，就得要说塑性，两者是双胞胎，缺不了谁的。我们知道弹簧是弹性的，而玻璃是脆性的，胶皮泥是塑性的——因为有变形，还有恢复，在建筑上用的Z多的是弹塑性。因为你不可能都是钢结构嘛，毕竟混合结构（钢筋混凝土）是多数。即：在设计荷载下保持弹性（楼板）或不变形（砖墙、柱子），在过载下（地震）允许塑性变形，但不允许倒塌。弹性力学在建筑上wan美应用就是钢结构。还有相对一点的就是楼板等薄体、薄壳结构，以及大跨度长细比比较大的预应力钢筋混凝土结构。