电容率的量子诠释

    如同梵高的《向日葵》，向日葵总是以热情、饱满、向上的态度示人。金黄色的花瓣， 就像太阳一样给人以温暖的感觉，那向阳而生的花朵，就像一团炽热的火球，放射出耀眼的光芒。然而向日葵不止具有艺术美的鉴赏价值，它的花盘还蕴含着数学的奥秘。今天就让X射线CT带领大家一起探索向日葵的花盘秘密吧。

     先来一张CT扫描的向日葵三维模型图，是不是感觉葵花种子的排列非常的紧密而有规律呢？向日葵圆盘的种子按照一定的发散角螺旋排列使得种子之间没有间隙，空间得到充分的利用，这其中便蕴含着数学奥秘。

    在讲向日葵的数学之美前，先请大家复习两个数学概念，

    第一个叫斐波那契数列，也叫兔子数列，它是这样的：

    1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……

    还记得数学课上是怎么讲的吗？对，数列中每项是它前两项的和。

    第二个概念叫黄金分割，即0.618，

    请仔细观察兔子数列，如果用前一项除以后一项，即：

    1÷1=1

    1÷2=0.5

    2÷3=0.666…

    3÷5=0.6

    5÷8=0.625

    ……

    55÷89=0.617977…

    ……

    144÷233=0.618025…

    ……

    46368÷75025=0.6180339886…

    ……

    不难发现，数字越大，得到的结果越接近一个数字，即 0.618，这个数字就是著名的“ 黄金分割”。

    向日葵种子的排列方式就是这种典型的数学模式，如下图：

    图中存在顺时针的螺线与逆时针的螺线，由于花盘螺线过密，我们间隔多行进行螺线勾勒。下图单独提取螺旋线，有发现什么规律吗？

    那让我们分别来看看螺旋线吧，顺时针的红色螺线共有55条，是斐波那契数列其中一项。

     接下来是逆时针的蓝色螺线共有89条，（55，89）正是斐波那契数列中相邻的两项。在向日葵的花盘中，普遍存在着斐波那契数列，较大向日葵的逆顺螺线数目可以是（89，144），更大的甚至可以达到（144，233）。

    对于向日葵来说，在有限的空间里开出足够多的花并结出足够多的种子是第一要务，在漫长的进化过程中，自然选择让向日葵有了可以用斐波那契数列和黄金分割来解释的数学之美。

    大自然的选择机制使得向日葵原基的生长遵循着有效率堆排的几何原理。一九七九年，数学家伏格（H. Vogel）以电脑模拟原基的生长情形，他用圆点来代表向日葵的原基，在发散角为固定值的假设下，试图找出发散角使这些圆点尽可能紧密地排在一起。实验证明，当发散角小于137.5°或大于超过 137.5°，圆点间都会出现空隙，只以一组螺线陈列。而发散角等于137.5°时，清晰的正反两组螺线叠加出现了，如果要使圆点排列没有空隙，发散角就必须是黄金角（137.5°为黄金角，是因为（360°-137.5°）/360°=0.618），只有这样，向日葵花盘最密实、最坚固，能量吸收最有效率。如下图，实际的生长顺序并不是距离临近的，而是按照“黄金角”的规律进行的。

    除了向日葵，自然界中随处可见斐波那契数列的踪迹。树枝上的分枝、花的瓣数都是斐波那契数列，桃梅杏李5，桔梗常为8，金盏花13等等。

量子阱是指由2种不同的半导体材料相间排列形成的、具有明显量子限域效应的电子或空穴的势阱。量子阱器件，即指采用量子阱材料作为有源区的光电子器件。

一、量子阱的构造 

如下图，量子阱器件的基本结构是两块N型GaAs附于两端，而中间有一个薄层，这个薄层的结构由AlGaAs-GaAs-AlGaAs的复合形式组成。在未加偏压时，各个区域的势能与中间的GaAs对应的区域形成了一个势阱，故称为量子阱。电子的运动路径是从左边的N型区（发射极）进入右边的N型区（集电极），中间必须通过AlGaAs层进入量子阱，然后再穿透另一层AlGaAs。量子阱器件虽然是新近研制成功的器件，但已在很多领域获得了应用，如量子阱红外探测器、GaA s、InP基超晶格、量子阱材料、量子光通讯和量子结构LED等，而且随着制作水平的提高，它将获得更加广泛的应用。

量子阱的基本结构

二、量子阱的微观世界

量子阱材料一般使用分子束外延(molecular beam epitaxy ,简称 MBE)或金属有机氧化物化学气相沉积法(MOCVD)技术制备，对于量子阱材料界面结构的观察，晶体生长过程中出现的诸如层错，位错等缺陷的形成、特性及其分布等，我们一般利用高分辨透射扫描电镜(TEM)来观察，从而确定材料微观结构参数与器件宏观性能参数间的关系。众所周知，透射样品制备要求严格，制样困难，首先要将样品膜面利用进行对粘，再继续线切割为3mm×1mm；其次采用砂纸将样品打磨抛光使其厚度为60μm 左右，再抛光至 20μm；ZH使用离子减薄仪将样品轰击为10nm以下。这个过程技术要求高，每一步都需要经验，不是一般人都可以做的，而且成本较高；而扫描电镜相比较而言，样品制备简单，导电样品直接用导电胶固定在样品台上，放入腔室内进行观察，对于不导电样品，我们也有自己的解决方案，一配备离子溅射仪，即喷金，二采用低电压模式，低电压成像是现代场发射扫描电镜的技术发展趋势，低电压成像可以呈现样品极表面细节、可以减少不导电样品的荷电（放电）现象、可以减少电子束对样品的损伤。

对于薄膜材料更是如此，下面就是我们来看看采用蔡司sigma 500所测的量子阱材料，我们得到了10万和15万倍下的量子阱的背散射图片，可以看出样品界面出现了亮暗程度不同的衬度带，各层分界清楚，界面平整，层分布精度高，周期性好，厚度为 68.11nm，阱和势垒交替出现，从而确定周期厚度。