Moku升级实时计算并显示g(2)二阶关联函数及最新活动更新

二阶关联函数g⁽²⁾(τ) 用来回答一个问题：如果刚探测到一个光子事件，则过了 τ 之后再探测到下一个光子事件的概率，是比在“随机到达”的情况下更大还是更小。其中 τ=0 处的值尤为重要，因为它可用于推断光源在同一时刻发射多个光子的可能性。例如：

若 g⁽²⁾(0)>1，则光源倾向于成对发射光子。我们称为“聚束”，通常表明该光源具有热光源特征。举例来说，g⁽²⁾(τ=0)=2 表示：在总测量时长 T 内，与“任意时间延迟 τ ”对应的平均符合计数相比，时间延迟接近 0 的符合事件（事件对）数量是前者的两倍。

若 g⁽²⁾(0)<1，则光源倾向于以规律时间间隔发射光子，几乎不会在同一时刻发射超过一个光子。我们称为“反聚束”，是单光子光源所期望具备的重要特性。

若 g⁽²⁾(0)=1，则发射光子之间不存在相关性（即到达时间彼此独立）。这常见于相干光源，例如激光。

这三种情况的仿真结果如下面图 1 所示。

随后，将这些 τ 值进行分箱处理以生成直方图，并进行适当归一化，使得当某一延迟值下 g⁽²⁾(τ)=1 时表示该延迟值下不存在关联性。尽管该方法直观且直接了当，但其计算规模扩展性较差，因为需要将每一个事件 A 与每一个事件 B 进行比较，计算量为 O(N_A×N_B)。当事件发生率较高时，这一运算量会迅速变得非常庞大。因此，这样很难在硬件上实现实时计算。

所以 Moku 时间间隔与频率分析仪采用了另一种替代方法来实时计算 g⁽²⁾(τ)，该方法更利于发挥 FPGA 的性能优势。其核心是对 k(τ) 进行高阶自卷积，得到一组分布 k⁽ⁿ⁾(τ)。其中 k⁽ⁿ⁾(τ) 表示：在一级联光子事件序列中，相对于初始触发事件，后续第 n 次光子事件出现在延迟 τ 处的概率密度。换言之，它对应于从初始光子事件到第 n 个后续光子事件之间的延迟分布。将所有阶次的贡献叠加后，得到在初始触发之后、延迟为 τ 处观测到光子事件的总概率密度 G(τ) （不区分来自第几次后续光子事件），其与下式所示的无限求和成正比 [1]：

其次，我们配置第二个波形发生器来模拟一对光电探测器。我们选择脉冲输出，频率设为 10 MHz，脉冲宽度设为 20 ns。随后启用 N 周期突发模式，并将触发阈值设为400 mV。每个通道分别由第一个波形发生器的一路噪声源来触发。通过这种方式，当输入信号达到设定电压阈值时，第二个波形发生器就会被触发并输出一个方波脉冲，从而在行为上模拟单光子探测器的输出。本例中阈值被设为400 mV，也可以调整该阈值，以改变“光子”事件的发生频率。第二个波形发生器的配置如图 6 所示。

为验证两种方法的一致性，下面我们将使用时间间隔与频率分析仪记录的时间戳数据来估算 g⁽²⁾(τ)。

第一步在导入常规的模块包之后，将记录数据分别读入两个数组A_times 和 B_times。随后，我们对每个事件 A 寻找其后出现的下一个事件 B，从而得到一阶时间间隔信息——这与 Moku 时间间隔与频率分析仪绘制的直方图结果一致。有了时间戳数据与直方图信息后，我们即可按上一节所述的方法计算 g⁽²⁾(τ)。第一种方法如图 9 所示：对 A_times 中的每个事件，搜索B_times 中所有发生在其后的事件，并计算相应的时间延迟。这些延迟值随后进行分箱处理并作适当归一化。

由于两种计算路径不同，卷积法与成全配对法在 g⁽²⁾(τ) 上可能会出现细微差异，尤其是在 τ≈0 处附近。卷积法使用由 Moku 得到的、经过分箱处理的直方图数据进行计算；而全配对法则对所有事件对组合进行显式计算。

这两种方法在数学上都是计算二阶关联函数的有效途径。对于大多数应用而言，它们会给出等效的结果。但也需要注意，在某些边界条件或特定类型探测器的配置下，两种方法之间可能会出现轻微差别。

二阶关联函数是一种用于评估光源的时间动力学的强有力工具；在量子光学应用中更是至关重要，其应用范围覆盖从加密通信到光子计算等方向。

Moku时间间隔与频率分析仪具备亚皮秒的数字分辨率且无死时间，用于精确测量事件之间的时间间隔。不仅支持单一界面对光子、频率和事件进行计数，还可以执行抖动分析和记录高分辨率原始事件时间戳，最新升级版本增加了实时计算和显示g⁽²⁾(τ)功能。

在本文中，我们使用 Moku 时间间隔与频率分析仪通过两种方法计算了二阶关联函数 g⁽²⁾(τ)。第一种方法是利用时间间隔与频率分析仪内置的 g⁽²⁾(τ) 实时计算功能，通过卷积法生成该结果。第二种方法则演示了如何以精确时间分辨率采集带时间戳的光子事件，并使用 Python 进行计算分析，通过全配对方法计算 g⁽²⁾(τ)。将两种结果并排绘制后，我们验证了它们之间具有良好一致性。

无论是研究相干激光，还是单光子发射源，熟悉这两种 g⁽²⁾(τ) 的计算方法将有效帮助用户识别相对于理想行为的偏差，并对光源性能进行高效量化评估。

参考文献

[1] Chen-How Huang, Yung-Hsiang Wen, and Yi-Wei Liu, “Measuring the second order correlation function and the coherence time using random phase modulation,” Opt. Express 24, 4278-4288 (2016).

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